线性回归

基本概念

线性回归，其实说白了，就是期待用线性函数，来描述输入变量和输出之间的关系。输入变量，是可以通过采集、搜集得到的数据，而输出的变量，则是将要预测或者得出结论的那个参数。

问题描述

比如说，一个单变量的线性回归问题：预测房价与房间大小的关系。现在我们遇到的问题是：我们想知道，当给我们一套房子时，我们能否较为准确的预测出它的价格。

在实际生活中，我们知道，房价并不单纯与房间大小呈线性关系，可是，如果我们不知道其他的参数（这些参数，在人工智能中有一个更准确的概念，叫做特征），这些参数或者无法搜集，或者搜集的不准确，我们只能拿到房间大小这一个数据作为输入，那么如果我们用线性回归，来分析房价与房间大小之间的关系，那么我们就默认为一个前提：房价和房间大小呈线性关系。

如果房价和房间大小确实呈完美的线性关系，那么我们无需使用人工智能来进行房价预测，因为我们可以很容易得出房价与房间大小之间的关系，p=s*10000（1万元一平方米），当新的房间参数到来时，只需要将新的房间大小s代入这个公式，就可以了。

解决方法

然而实际上我们也知道，这几乎时不可能的，因为影响房间的因素太多了，我们无法将所有影响房价的因素都找出来，比如所处的地段、学区房、户型等。所以我们用到的一定时一个简化的模型，就是我们认为房间一定主要由几个参数来确定。假如我们现在认为房价只和房间大小有关，那么因为它和现实相违背，它一定不是完美的线性关系，基本上来说，会是这样的。

因为只有一个参数，所以，我们用线性函数

p=as+b

来表示房价p和房间大小s之间的关系，那么我们的目标，变成了，通过上述数据，来确定a和b。这样我们就能够得到一个完整的公式。但是，实际上，因为房价和房子大小之间不是完美的线性关系，我们肯定无法用一个线性函数来完美描述他们之间的关系，不同的a和b确定的直线，在图上是这样的。

也就是说，我们可以有无数个a和b的取值，每个取值，都代表了一个直线，那么到底哪个直线更能够代表房价和房间大小之间的关系呢？此处，我们需要引入另外一个概念：损失函数。损失函数，描述的就是用直线模拟出来的结果，和真实的结果之间的误差。那么很明显，它是衡量哪条直线更能符合真实关系的一个重要指标：损失函数越小，应该说明这条直线越能够描述输入与输出之间的关系。

于是我们的问题就变成了：如何找到一组参数a和b，让损失函数最小。如何解决这个问题呢？人工智能采取的基本上都是最笨的方法：挨个试。就是a和b随便取。

但是也不能太随便，否则岂不是像没头苍蝇一样到处乱撞？肯定有方法，有规律的去挨个试。

一个很重要的方法，叫做梯度下降。

梯度下降，说白了，其实就是按照一定的步长来减少或者增加参数a和b的值，以期望得到最小的损失函数。例如，初始值，设定a和b都是1，代入公式中，然后把所有的数据都代入公式，用真实的值减去公式算出的值，将他们的绝对值相加，就是损失函数。然后，根据梯度下降的步长，假如设定为0.1，那么下一组参数就是0.9和0.9，继续代入，算出损失函数，看是否能够得到更小的损失。以此不停的计算，直到两个条件：要么得到了认可（可被接受的）的最小损失函数，此时的a和b的参数，就是我们要的参数，问题解决；要么，算的次数（迭代次数）已经超过了我们的接受范围（比如，就算100次），还没有得到可以接受的损失（损失函数仍然很大），但是你不能永远算下去，时间都浪费了，这种情况就是不收敛，也就是在规定的步数内，没有找到可被接受的最小的损失函数。不收敛的处理方法，要么重新调整参数，重新计算，要么就从这些不收敛的数据中，找到损失函数最小的参数，先用着。所以，在求取最小损失的过程中，步长（每次的变化量）和迭代次数，是很重要的参数。

多变量的线性回归

多变量的线性回归，和单变量类似。单变量的线性回归，是用一个参数来模拟输入与输出之间的关系，多变量，就是用多个参数。那么也就不是用直线来模拟，而是用曲线。表达式的一般规律是：

y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+……a_nx_n

其中x_n就是n个参数（特征），a_0-a_n是我们需要通过已有的数据，通过计算最小损失函数来确定的参数。

这些数据，被称为训练数据，通过这些训练数据，确定的a_0-a_n的参数，被称为一个模型。

我们常说的，训练一个模型，其实就是要通过大量的数据学习，得到一个最能够准确描述这些数据的公式的所有参数，这些参数，就可以被认为是一个机器学习模型。而准确与否，则是用损失函数来进行衡量。

数据规范化

事实上，数据规范化问题，是一个共性问题。指的是将不同特征的数据，尽可能规范化到一个统一的度量里面。比如说，房子的价格，除了和房间的大小有关系，还和房子里面的房间个数有关系，比如说同样的80平米的房子，有5个房间的，要比只有4个房间的贵，那么这个模型里面，就有两个特征（变量），这两个特征，数据的维度差了一个数量级，房间的大小都是70、80这样的量级，可是房间的个数，基本都是5、6这样的。这种量级差别的特征数据给模型的训练带来了问题，所以，最好的方法是将他们的量级统一起来。

其中一种常见的规范化方法是：